导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

前沿拓展：

导数公式推导过程

lim(Δy/Δx)Δx->0=lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx}Δx->0=lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx]Δx->0=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2]Δx->0由cos(x)的连续性，有limcos(x+Δx/2) = cos(x)Δx->0以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1Δx->0故得lim(Δy/Δx)Δx->0=limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2]Δx->0 Δx->0=cos(x)*1=cos(x)

1 微积分基本定理

微积分基本定理也称为牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），把一个函数的导数与其积分联系到了一起。

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

这个定理可以表述为两个部分。

第一部分：导数与定积分互为逆运算

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

第二部分：用反导数计算定积分

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

2 几何推导导数与定积分互为逆运算

对于图为曲线的连续函数y=f(x)，x的每个值都有一个对应的面积函数A(x)，表示曲线下面0到x之间的面积。

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

在x和x+h之间的曲线下面积可以通过找到0和x+h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，换句话说，这个“红色带”的面积将是A(x+h)-A(x)。

还有另一种方法来估计同一条“红色带”的面积。如上图所示，h*f(x)是矩形的面积，该矩形的面积与此条“红色带”的大小大致相同：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

如果加上右上角红色曲线三角部分Excess，则可以准确表述为：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

推导出：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

h|f(x+h)-f(x)|为右上角小长方形的面积。|Red Excess|<=小长方形面积

也就是：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

当h→0上，上式右值→0，相应的左值→0。所以有

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

也就是f(x) = A′(x)

3 公式推导微积分基本定理

3.1 准备知识

3.1.1 介值定理

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

3.1.2 积分估值定理

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

3.1.3 积分中值定理

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

积分中值定理的几何解释：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

3.2 公式推导导数与定积分互为逆运算

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

推导微积分基本定理的第二部分：

导数公式推导过程(基本初等函数导数公式推导过程)

－End－

拓展知识：

导数公式推导过程

导数公式推导过程：

1、显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

2、这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

⒊、y=a^x，y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），y/△x=a^x(a^△x-1）／△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）／△x=β／loga（1+β）＝1/loga（1+β）＾1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）＾1/β＝e，所以limβ→01/loga（1+β）＾1/β＝1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）／△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y=e^x。

4、y=logax，△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga/x，△y/△x=loga/x。

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有lim△x→0△y/△x=logae/x，可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx。

所以y'=e^nlnx·（nlnx)=x^n/x=nx^(n-1）。

5、y=sinx。

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）。

△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）／△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）／（△x/2）。

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）lim△x→0sin（△x/2）／（△x/2）＝cosx。

6、类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。

7、y=tanx=sinx/cosx。

y=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x。

8、y=cotx=cosx/sinx，y=/sin^2x=-1/sin^2x。

9、y=arcsinx，x=siny，x=cosy，y=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2。

10、y=arccosx，x=cosy，x=siny，y=1/x=1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2。

11、y=arctanx，x=tany，x=1/cos^2y，y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2。

12、y=arccotx，x=coty，x=-1/sin^2y。

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